Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{2} (2 x + 1)$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} (2 x + 1)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 (x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x^{2} (2 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$3 (x^{2} \cdot 2 + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$3 (2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x^{2} + (2 x + 1) (2 x))$

Etapa 3.8

Mova $2$ para a esquerda de $2 x + 1$ .

$3 (2 x^{2} + 2 \cdot (2 x + 1) x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot 1) x)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x^{2}) + 3 (2 (2 x) x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 3 (2 (2 x) x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x \cdot x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{2} + 3 (4 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.6

Some $1$ e $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x^{2}) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.7

Multiplique $4$ por $3$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 3 (2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Etapa 4.4.9

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 6 x$

Etapa 4.4.10

Some $6 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$18 x^{2} + 6 x$