Cálculo Exemplos

$y = 3 \sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$ como ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 7.3

Mova ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Etapa 7.4

Combine $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $3$ .

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Etapa 7.6

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + 0)$

Etapa 13

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x)$

Etapa 13.2

Combine $4$ e $\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Etapa 13.3

Combine $\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$