Cálculo Exemplos

$y = 3 e^{2 x} \arcsin (x)$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{2 x} \arcsin (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = \arcsin (x)$ .

$3 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Etapa 3

A derivada de $\arcsin (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 (e^{2 x} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Etapa 4

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \cdot 2))$

Etapa 6.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (2 \cdot e^{2 x}))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

Etapa 7.2

Combine os termos.

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Etapa 7.2.1

Combine $3$ e $\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 6 \arcsin (x) e^{2 x}$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$6 e^{2 x} \arcsin (x) + \frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$