Cálculo Exemplos

$y = 3 {(2 - x^{2})}^{4}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(2 - x^{2})}^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x^{2}$ .

$3 (4 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 ({(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$- 12 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 12 {(2 - x^{2})}^{3} (2 x)$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$- 24 {(2 - x^{2})}^{3} x$

Etapa 3.8.2

Reordene os fatores de $- 24 {(2 - x^{2})}^{3} x$ .

$- 24 x {(2 - x^{2})}^{3}$