Cálculo Exemplos

$y = 3 \cdot 4^{x^{2} + 2}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cdot 4^{x^{2} + 2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [4^{x^{2} + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [4^{x^{2} + 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 4^{x}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $4$ .

$3 (4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$3 (4^{x^{2} + 2} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x + 0)$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x)$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $6 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) x$ .

$6 \cdot 4^{x^{2} + 2} x \ln (4)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $6 \cdot 4^{x^{2} + 2} x \ln (4)$ .

$6 x \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4)$