Cálculo Exemplos

$y = 2 e^{\sqrt{5 x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{{(5 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.2.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2

Aplique a regra do produto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $5^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 10

Combine $5^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Combine $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Combine $\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Mova $2$ para a esquerda de $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Reescreva a expressão.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$