Cálculo Exemplos

$y = 2 \csc^{3} (\sqrt{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \csc (x^{\frac{1}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 (3 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

Etapa 3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 6

Eleve $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ à potência de $1$ .

$- 6 (\csc^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 2} (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 8

Some $1$ e $2$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 15

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 16

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 6$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 17

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2}$ e $\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cot (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 18

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ e $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 19

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Mova $- 6$ para a esquerda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 6 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 19.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Fatore $2$ de $- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 21.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$