Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{3} - \sqrt{x} + \sec (x) - \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - \sqrt{x} + \sec (x) - \frac{2}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 4

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

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Etapa 5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 5.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 5.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 5.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 5.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 5.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Etapa 5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 5.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 5.10

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + 4 x^{- 3}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 6.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + \frac{4}{x^{3}}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$6 x^{2} + \sec (x) \tan (x) + \frac{4}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$