Cálculo Exemplos

$y = 8 x^{2} \cos (x) \cot (x)$

Etapa 1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2} \cos (x) \cot (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} \cos (x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$8 (x^{2} \cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x))) + \cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 8 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Etapa 7.3

Combine os termos.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 (x^{2} \cos (x) (\csc^{2} (x))) + 8 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 8 (\cot (x) x^{2} (\sin (x))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Etapa 7.3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$- 8 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 8 \cot (x) x^{2} \sin (x) + 16 \cot (x) \cos (x) x$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$- 8 x^{2} \csc^{2} (x) \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- 8 x^{2} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- 8 x^{2} \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 8 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.4

Multiplique $- 8 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

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Etapa 7.5.4.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$x^{2} \frac{- 8}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.4.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{- 8}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 8}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.5

Mova $- 8$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 8 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.7

Combine $\cos (x)$ e $\frac{8 x^{2}}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) (8 x^{2})}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.8

Mova $8$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$- \frac{8 \cdot \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.9

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.5.9.1

Adicione parênteses.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} (\cot (x) \sin (x)) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.9.2

Reescreva $- 8 x^{2} \cot (x) \sin (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.9.3

Cancele os fatores comuns.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Etapa 7.5.10

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.11

Multiplique $16 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 7.5.11.1

Combine $16$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + x \cos (x) \frac{16 \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.11.2

Combine $\frac{16 \cos (x)}{\sin (x)}$ e $x$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x)$

Etapa 7.5.11.3

Combine $\frac{16 \cos (x) x}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 \cos (x) x \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.11.4

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.11.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.11.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.11.7

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.6.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin (x) \sin (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.2

Separe as frações.

$- (\frac{8 x^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$- (\frac{8 x^{2}}{\sin (x)} \cot (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.4

Combine $\frac{8 x^{2}}{\sin (x)}$ e $\cot (x)$ .

$- \frac{8 x^{2} \cot (x)}{\sin (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.5

Separe as frações.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.6

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.7

Reescreva $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ como um produto.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.8

Simplifique.

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Etapa 7.6.8.1

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)})) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.8.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.9

Divida $8 x^{2}$ por $1$ .

$- (8 x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.10

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$- 8 (x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.11

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.12

Separe as frações.

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x))}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.6.13

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x))}{1} \cot (x)$

Etapa 7.6.14

Divida $16 x (\cos (x))$ por $1$ .

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x (\cos (x)) \cot (x)$

$- 8 x^{2} \cot (x) \csc (x) - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x (\cos (x)) \cot (x)$