Cálculo Exemplos

$y = \cos (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (8 x)$ e $g (x) = \ln (\cos^{2} (8 x))$ .

$\cos (8 x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos^{2} (8 x))] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos^{2} (8 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos^{2} (8 x)$ .

$\cos (8 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\cos (8 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos^{2} (8 x)$ .

$\cos (8 x) (\frac{1}{\cos^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (8 x)}$ em $\sec^{2} (8 x)$ .

$\cos (8 x) (\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (8 x)$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (8 x)$ .

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (8 x)$ .

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (2 \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 5

Eleve $\cos (8 x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (8 x) (2 (\cos^{1} (8 x) \cos (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 6

Eleve $\cos (8 x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (8 x) (2 (\cos^{1} (8 x) \cos^{1} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec^{2} (8 x) (2 {\cos (8 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (8 x) (2 \cos^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 8.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (8 x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $8 x$ .

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 9.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $8 x$ .

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 10

Diferencie.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (\sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 10.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 10.3

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 10.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) \cdot 1 + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 10.5

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 11.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $8 x$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 11.2

A derivada de $\cos (u_{4})$ em relação a $u_{4}$ é $- \sin (u_{4})$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 11.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $8 x$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 12

Diferencie.

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Etapa 12.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 12.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1)$

Etapa 12.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Reordene os termos.

$- 16 \cos^{2} (8 x) \sec^{2} (8 x) \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Etapa 13.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1

Reescreva $\sec (8 x)$ em termos de senos e cossenos.

$- 16 \cos^{2} (8 x) {(\frac{1}{\cos (8 x)})}^{2} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Etapa 13.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (8 x)}$ .

$- 16 \cos^{2} (8 x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Etapa 13.2.3

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (8 x)$ .

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Etapa 13.2.3.1

Fatore $\cos^{2} (8 x)$ de $- 16 \cos^{2} (8 x)$ .

$\cos^{2} (8 x) \cdot - 16 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Etapa 13.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (8 x) \cdot - 16 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Etapa 13.2.3.3

Reescreva a expressão.

$- 16 \cdot 1^{2} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Etapa 13.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 16 \cdot 1 \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Etapa 13.2.5

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$- 16 \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$