Cálculo Exemplos

$y = \cos (\frac{x}{x - 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{x - 1}$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.4.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

Etapa 3.6.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.4.4

Multiplique $\sin (\frac{x}{x - 1})$ por $1$ .

$\sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.5

Combine $\sin (\frac{x}{x - 1})$ e $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{x - 1})}{{(x - 1)}^{2}}$