Cálculo Exemplos

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e^{2 x}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Combine $2$ e $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

Etapa 5.3.4

Combine $3$ e $\frac{e^{4 x}}{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

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Etapa 5.3.5.1

Fatore $3$ de $3 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

Etapa 5.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.5.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 5.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 5.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Etapa 5.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Etapa 5.4.2

Combine $3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Etapa 5.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

Etapa 5.4.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

Etapa 5.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

Etapa 5.6

Multiplique $2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ .

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Etapa 5.6.1

Combine $\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Etapa 5.6.3

Combine $\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$