Cálculo Exemplos

$y = \cos ({(π x)}^{4})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = {(π x)}^{4}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(π x)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(π x)}^{4}$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $π x$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $π x$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 3.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} (π \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π \cdot 1)$

Etapa 3.4

Multiplique ${(π x)}^{3}$ por $1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $π x$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $π x$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (π^{3} x^{3} π)$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} (π^{3} π^{1}))$

Etapa 4.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{3 + 1})$

Etapa 4.3.3

Some $3$ e $1$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$ .

$- 4 π^{4} x^{3} \sin (π^{4} x^{4})$