Cálculo Exemplos

$y = \arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Etapa 2.2

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \cdot \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{4})}^{2}) \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Etapa 2.6

Mova $4$ para a esquerda de $1 + {(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 16}$ como ${(x^{2} + 16)}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{- 1}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + 16$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 16$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [16]))$

Etapa 3.6

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + 0))$

Etapa 3.7

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x))$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- 2 {(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

Etapa 3.9

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + 2 (\frac{1}{2}) ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

Etapa 3.10

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2}{2} ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

Etapa 3.11

Combine ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2} x$

Etapa 3.12

Combine $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2}$ e $x$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2 x}{2}$

Etapa 3.13

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 \cdot {(x^{2} + 16)}^{- 2} x}{2}$

Etapa 3.14

Mova ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 3.15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 3.15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Combine $4$ e $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

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Etapa 4.3.4.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.3.5

Para escrever $\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 4.3.6

Para escrever $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

Etapa 4.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.3.7.1

Multiplique $\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ por $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

Etapa 4.3.7.2

Multiplique $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ por $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

Etapa 4.3.7.3

Reordene os fatores de $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

Etapa 4.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} + x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$