Cálculo Exemplos

$y = 6 \sqrt{4 + x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 + x}$ como ${(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 + x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 + x$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 + x$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{{(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 9

Mova ${(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $6$ .

$\frac{6}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

Etapa 11

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

Etapa 12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1

Fatore $2$ de $2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(4 + x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [4 + x]$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

Etapa 13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 17

Simplifique a expressão.

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Etapa 17.1

Multiplique $\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Reordene os termos.

$\frac{3}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$