Cálculo Exemplos

$y = \sin (\sqrt{2 x})$

Etapa 1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.3

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 10

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 11

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.1

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 12.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Combine $\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$