Cálculo Exemplos

$y = \sin (\frac{3}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3}{x}$ .

$\cos (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (3 (- x^{- 2}))$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (- 3 x^{- 2})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (- 3 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\cos (\frac{3}{x}) \frac{- 3}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (\frac{3}{x}) (- \frac{3}{x^{2}})$

Etapa 3.2.3

Combine $\cos (\frac{3}{x})$ e $\frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{3}{x}) \cdot 3}{x^{2}}$

Etapa 3.2.4

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (\frac{3}{x})$ .

$- \frac{3 \cos (\frac{3}{x})}{x^{2}}$