Cálculo Exemplos

$y = \sec (x) (x - \tan (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = x - \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [x - \tan (x)] + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\sec (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec (x) (1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\sec (x) (1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x \sec (x) - \tan (x) \sec (x)) \tan (x)$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.4

Combine os termos.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $\sec (x)$ por $1$ .

$\sec (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.4.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.4.4

Some $1$ e $2$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.4.5

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)$

Etapa 5.4.6

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)$

Etapa 5.4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Etapa 5.4.8

Some $1$ e $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Etapa 5.5

Reordene os termos.

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Etapa 5.6

Fatore $\sec (x)$ de $x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $\sec (x)$ de $x \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Etapa 5.6.2

Fatore $\sec (x)$ de $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Etapa 5.6.3

Multiplique por $1$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 - \sec^{3} (x)$

Etapa 5.6.4

Fatore $\sec (x)$ de $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Etapa 5.6.5

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Etapa 5.6.6

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Etapa 5.6.7

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1 - \sec^{2} (x))$

Etapa 5.7

Reordene $1$ e $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1)$

Etapa 5.8

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1)$

Etapa 5.9

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.10

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1))$

Etapa 5.11

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 5.12

Subtraia $\tan^{2} (x)$ de $- \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - 2 \tan^{2} (x))$

Etapa 5.13

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- 2 \tan^{2} (x))$

Etapa 5.14

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Etapa 5.15

Reordene os fatores em $\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$x \sec (x) \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$