Cálculo Exemplos

$y = \ln (\csc (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x)} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 5

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os fatores de $\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x)$

Etapa 6.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x)$

Etapa 6.3

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

Etapa 6.4

Multiplique $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Etapa 6.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x)$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x)$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x)$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ para o numerador.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Etapa 6.5.2

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Etapa 6.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Etapa 6.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 6.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 6.7

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$- \cot (x)$