Cálculo Exemplos

$y = \ln (\cos (e^{x}))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (e^{x})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (e^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (e^{x})$ .

$\frac{1}{\cos (e^{x})} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Etapa 2

Converta de $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ em $\sec (e^{x})$ .

$\sec (e^{x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$ .

$- e^{x} \sec (e^{x}) \sin (e^{x})$

Etapa 5.2

Reescreva $\sec (e^{x})$ em termos de senos e cossenos.

$- e^{x} \frac{1}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Etapa 5.3

Combine $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ e $e^{x}$ .

$- \frac{e^{x}}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Etapa 5.4

Combine $\sin (e^{x})$ e $\frac{e^{x}}{\cos (e^{x})}$ .

$- \frac{\sin (e^{x}) e^{x}}{\cos (e^{x})}$

Etapa 5.5

Separe as frações.

$- (\frac{e^{x}}{1} \cdot \frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})})$

Etapa 5.6

Converta de $\frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})}$ em $\tan (e^{x})$ .

$- (\frac{e^{x}}{1} \tan (e^{x}))$

Etapa 5.7

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$- e^{x} \tan (e^{x})$