Cálculo Exemplos

$y = \ln (\arctan (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \arctan (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{1}{\arctan (x)}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x) (1 + x^{2})}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique $\arctan (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$

Etapa 4.4

Fatore $\arctan (x)$ de $x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $\arctan (x)$ de $x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x)}$

Etapa 4.4.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1}$

Etapa 4.4.3

Fatore $\arctan (x)$ de $\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) (x^{2} + 1)}$