Cálculo Exemplos

$y = \ln (4 x^{2}) \cdot (- x^{3} - 4)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (4 x^{2})$ e $g (x) = - x^{3} - 4$ .

$\ln (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{3} - 4] + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\ln (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\ln (4 x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\ln (4 x^{2}) (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Etapa 2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + 0) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Etapa 2.6

Some $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{2}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{2}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{4 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4 x^{2}}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Etapa 4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.4.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x^{2}} x$

Etapa 4.4.2

Combine $x$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 4.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2 \cdot x}{x^{2}}$

Etapa 4.4.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 4.4.4.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 4.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 4.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 4.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - x^{3} \frac{2}{x} - 4 \frac{2}{x}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $\frac{2}{x}$ e $x^{3}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{3}}{x} - 4 \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x} - 4 \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} - 4 \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{2}}{1} - 4 \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.2.2.5

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - (2 x^{2}) - 4 \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - 4 \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{2}{x}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{x}$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 8}{x}$

Etapa 5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{8}{x}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$- 2 x^{2} - 3 x^{2} \ln (4 x^{2}) - \frac{8}{x}$