Cálculo Exemplos

$y = \ln (- 42 x^{2} + 11 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - 42 x^{2} + 11 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 42 x^{2} + 11 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Etapa 2.2

Como $- 42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 42 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $- 42$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

Etapa 2.5

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \cdot 1)$

Etapa 2.7

Multiplique $11$ por $1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x}$

Etapa 3.2

Fatore $x$ de $- 42 x^{2} + 11 x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $- 42 x^{2}$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + 11 x}$

Etapa 3.2.2

Fatore $x$ de $11 x$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + x \cdot 11}$

Etapa 3.2.3

Fatore $x$ de $x (- 42 x) + x \cdot 11$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x + 11)}$

Etapa 3.3

Multiplique $- 84 x + 11$ por $\frac{1}{x (- 42 x + 11)}$ .

$\frac{- 84 x + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- 84 x$ .

$\frac{- (84 x) + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Etapa 3.5

Reescreva $11$ como $- 1 (- 11)$ .

$\frac{- (84 x) - 1 (- 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- (84 x) - 1 (- 11)$ .

$\frac{- (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Etapa 3.7

Reescreva $- (84 x - 11)$ como $- 1 (84 x - 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- 42 x$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) + 11)}$

Etapa 3.9

Reescreva $11$ como $- 1 (- 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) - 1 (- 11))}$

Etapa 3.10

Fatore $- 1$ de $- (42 x) - 1 (- 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x - 11))}$

Etapa 3.11

Reescreva $- (42 x - 11)$ como $- 1 (42 x - 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Etapa 3.12

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Etapa 3.13

Reescreva a expressão.

$\frac{84 x - 11}{x (42 x - 11)}$