Cálculo Exemplos

$y = \ln (5 x + 2)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x + 2$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 2$ .

$\frac{1}{5 x + 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{5 x + 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x + 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5 x + 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5 x + 2} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5 x + 2} (5 + 0)$

Etapa 2.6

Combine frações.

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Etapa 2.6.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{1}{5 x + 2} \cdot 5$

Etapa 2.6.2

Combine $\frac{1}{5 x + 2}$ e $5$ .

$\frac{5}{5 x + 2}$