Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{2} - 5 x + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 5 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 5 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5 + 0)$

Etapa 2.7

Some $2 x - 5$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5)$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) \frac{1}{x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 3.2

Multiplique $2 x - 5$ por $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 5}{x^{2} - 5 x + 1}$