Cálculo Exemplos

$y = \ln (\arctan (5 x^{2}))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \arctan (5 x^{2})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Fatore $5$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 3.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 (x^{2})$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 3.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{4}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{1}{1 + 25 x^{4}}$ por $\frac{1}{\arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4

Combine $5$ e $\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (2 x)$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Combine $2$ e $\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

Etapa 3.6.3

Combine $\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ e $x$ .

$\frac{10 x}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 x}{1 \arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

Etapa 4.2

Multiplique $\arctan (5 x^{2})$ por $1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{10 x}{25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})}$

Etapa 4.4

Fatore $\arctan (5 x^{2})$ de $25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $\arctan (5 x^{2})$ de $25 x^{4} \arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2})}$

Etapa 4.4.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1}$

Etapa 4.4.3

Fatore $\arctan (5 x^{2})$ de $\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4} + 1)}$