Cálculo Exemplos

$y = \ln (e^{5 x} + 6)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{5 x} + 6$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{5 x} + 6$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{5 x} + 6$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{5 x} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 4.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 4.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 e^{5 x} + 0)$

Etapa 4.5

Combine frações.

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Etapa 4.5.1

Some $5 e^{5 x}$ e $0$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 e^{5 x})$

Etapa 4.5.2

Combine $5$ e $\frac{1}{e^{5 x} + 6}$ .

$\frac{5}{e^{5 x} + 6} e^{5 x}$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{5}{e^{5 x} + 6}$ e $e^{5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{e^{5 x} + 6}$