Cálculo Exemplos

$y = \arctan (\sinh (8 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \sinh (8 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sinh (8 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sinh (8 x)$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sinh (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $8 x$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sinh (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sinh (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cosh (u_{2})$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\cosh (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $8 x$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\cosh (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\cosh (8 x)$ e $\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ .

$\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 3.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (8 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Combine $8$ e $\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ .

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \cdot 1$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ por $1$ .

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$\frac{8 \cosh (8 x)}{\sinh^{2} (8 x) + 1}$