Cálculo Exemplos

$y = \frac{6 x}{5 - \tan (x)}$

Etapa 1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x}{5 - \tan (x)}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 - \tan (x)}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 - \tan (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 5 - \tan (x)$ .

$6 \frac{(5 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 - \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{(5 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 - \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $5 - \tan (x)$ por $1$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [5 - \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 5

Combine $6$ e $\frac{5 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{6 (5 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 \cdot 5 + 6 (- \tan (x)) + 6 (x \sec^{2} (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{30 + 6 (- \tan (x)) + 6 (x \sec^{2} (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{30 - 6 \tan (x) + 6 x \sec^{2} (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{6 x \sec^{2} (x) + 30 - 6 \tan (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4

Fatore $6$ de $6 x \sec^{2} (x) + 30 - 6 \tan (x)$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $6$ de $6 x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 30 - 6 \tan (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4.2

Fatore $6$ de $30$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (5) - 6 \tan (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4.3

Fatore $6$ de $- 6 \tan (x)$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (5) + 6 (- \tan (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4.4

Fatore $6$ de $6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (5)$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x) + 5) + 6 (- \tan (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4.5

Fatore $6$ de $6 (x \sec^{2} (x) + 5) + 6 (- \tan (x))$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x) + 5 - \tan (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$