Cálculo Exemplos

$y = \frac{- 9 e^{5 x}}{4 x + 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}]$

Etapa 1.2

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{5 x}$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \cdot 1) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} \cdot 5 - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $(4 x + 3) e^{5 x}$ .

$- 9 \frac{5 \cdot ((4 x + 3) e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9

Combine frações.

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Etapa 4.9.1

Some $4$ e $0$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9.3

Combine $- 9$ e $\frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{9 ((5 (4 x) + 5 \cdot 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x} + 5 \cdot 3 e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$- \frac{9 (20 x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $20$ por $9$ .

$- \frac{180 (x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 9 (15 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $15$ por $9$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} - 36 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Subtraia $36 e^{5 x}$ de $135 e^{5 x}$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.5

Fatore $9 e^{5 x}$ de $180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $9 e^{5 x}$ de $180 x e^{5 x}$ .

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.5.2

Fatore $9 e^{5 x}$ de $99 e^{5 x}$ .

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.5.3

Fatore $9 e^{5 x}$ de $9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)$ .

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x + 11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$