Cálculo Exemplos

$y = \frac{- 9 e^{3 x}}{7 x + 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 e^{3 x}}{7 x + 3}]$

Etapa 1.2

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{9 e^{3 x}}{7 x + 3}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{7 x + 3}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{7 x + 3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{3 x}$ e $g (x) = 7 x + 3$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} (3 \cdot 1) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} \cdot 3 - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $(7 x + 3) e^{3 x}$ .

$- 9 \frac{3 \cdot ((7 x + 3) e^{3 x}) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.7

Multiplique $7$ por $1$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 + 0)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9

Combine frações.

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Etapa 4.9.1

Some $7$ e $0$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} \cdot 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9.3

Combine $- 9$ e $\frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 9 (3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9 (3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{9 ((3 (7 x) + 3 \cdot 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{9 (3 (7 x) e^{3 x} + 3 \cdot 3 e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{9 (3 (7 x) e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$- \frac{9 (21 x e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $21$ por $9$ .

$- \frac{189 (x e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 9 (9 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $9$ por $9$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 81 e^{3 x} + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.5

Multiplique $- 7$ por $9$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 81 e^{3 x} - 63 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Subtraia $63 e^{3 x}$ de $81 e^{3 x}$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 18 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.5

Fatore $9 e^{3 x}$ de $189 x e^{3 x} + 18 e^{3 x}$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $9 e^{3 x}$ de $189 x e^{3 x}$ .

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x) + 18 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.5.2

Fatore $9 e^{3 x}$ de $18 e^{3 x}$ .

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x) + 9 e^{3 x} (2)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.5.3

Fatore $9 e^{3 x}$ de $9 e^{3 x} (21 x) + 9 e^{3 x} (2)$ .

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x + 2)}{{(7 x + 3)}^{2}}$