Cálculo Exemplos

$y = e^{x^{4}} \ln (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x^{4}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Etapa 2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{4}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Etapa 3

Combine $e^{x^{4}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{4}} (4 x^{3}))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os termos.

$4 e^{x^{4}} x^{3} \ln (x) + \frac{e^{x^{4}}}{x}$

Etapa 6.2

Reordene os fatores em $4 e^{x^{4}} x^{3} \ln (x) + \frac{e^{x^{4}}}{x}$ .

$4 x^{3} e^{x^{4}} \ln (x) + \frac{e^{x^{4}}}{x}$