Cálculo Exemplos

$y = arccsc (x^{4} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = arccsc (x)$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $arccsc (u)$ em relação a $u$ é $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 1$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + 0)$

Etapa 2.4

Combine frações.

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Etapa 2.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3})$

Etapa 2.4.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

Etapa 2.4.3

Combine $- 4$ e $\frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

Etapa 2.4.4

Combine $\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

Etapa 2.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

Etapa 3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{4} + 1$ e $b = 1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 1 + 1) (x^{4} + 1 - 1)}}$

Etapa 3.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.1.3.1

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 1 - 1)}}$

Etapa 3.1.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 0)}}$

Etapa 3.1.3.3

Some $x^{4}$ e $0$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) x^{4}}}$

Etapa 3.1.4

Reescreva $(x^{4} + 2) x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)$ .

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Etapa 3.1.4.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) {(x^{2})}^{2}}}$

Etapa 3.1.4.2

Reordene $x^{4} + 2$ e ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} (x^{4} + 2)}}$

Etapa 3.1.4.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)}}$

Etapa 3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{{(x^{2})}^{2} + 2})}$

Etapa 3.1.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{2 \cdot 2} + 2})}$

Etapa 3.1.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} (4 x)}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Etapa 3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}$ .

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ .

$- (\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}})$

Etapa 3.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Etapa 3.4.2

Mova $\sqrt{x^{4} + 2}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (\sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

Etapa 3.4.3

Eleve $\sqrt{x^{4} + 2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} \sqrt{x^{4} + 2})}$

Etapa 3.4.4

Eleve $\sqrt{x^{4} + 2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1})}$

Etapa 3.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.6

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}}$

Etapa 3.4.7

Reescreva ${\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}$ como $x^{4} + 2$ .

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Etapa 3.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{4} + 2}$ como ${(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {({(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{1}}$

Etapa 3.4.7.5

Simplifique.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 2)}$