Cálculo Exemplos

$y = \frac{9 x^{2} + 1}{x^{2} + 9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 9 x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $18 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $18$ para a esquerda de $x^{2} + 9$ .

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $18$ por $9$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $9$ por $- 2$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Combine os termos opostos em $18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Subtraia $18 x^{3}$ de $18 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0 - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Some $162 x$ e $0$ .

$\frac{162 x - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $2 x$ de $162 x$ .

$\frac{160 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$