Cálculo Exemplos

$y = \frac{9 x^{2} + 2}{x^{2} + 7}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 9 x^{2} + 2$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 2] - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $18 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $18$ para a esquerda de $x^{2} + 7$ .

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 7) x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $18$ por $7$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $9$ por $- 2$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Combine os termos opostos em $18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 4 x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Subtraia $18 x^{3}$ de $18 x^{3}$ .

$\frac{126 x + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Some $126 x$ e $0$ .

$\frac{126 x - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $4 x$ de $126 x$ .

$\frac{122 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$