Cálculo Exemplos

$y = \cos^{5} (2 x^{2} - 9)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \cos (2 x^{2} - 9)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (2 x^{2} - 9)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (2 x^{2} - 9)$ .

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x^{2} - 9$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x^{2} - 9$ .

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x^{2} - 9$ .

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.6

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + 0)$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $4 x$ e $0$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x)$

Etapa 3.7.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$

Etapa 3.7.3

Reordene os fatores de $- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$ .

$- 20 x \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9)$