Cálculo Exemplos

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (\ln (2 x))$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \ln (2 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Etapa 3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\frac{1}{u_{3}}$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2 x}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $\frac{- 2}{2 x}$ e $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ e $\sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.4

Combine frações.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ .

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

Etapa 5.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Reordene $2 \cos (\ln (2 x))$ e $\sin (\ln (2 x))$ .

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

Etapa 6.2

Reordene $\sin (\ln (2 x))$ e $2$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

Etapa 6.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

Etapa 6.4

Simplifique $2 \ln (2 x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

Etapa 6.5

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

Etapa 6.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$