Cálculo Exemplos

$y = \frac{\ln (x)}{x + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Combine.

$\frac{x (1 + \frac{1}{x} - \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \cdot 1 + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.7

Fatore $- 1$ de $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.8

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.9

Fatore $- 1$ de $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.10

Reescreva $- (x \ln (x) - x - 1)$ como $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(x + 1)}^{2}}$