Cálculo Exemplos

$y = \ln ({(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{9}{5}}$ e $g (x) = 5 x^{8} + 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x^{8} + 7 x$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {u_{2}}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x^{8} + 7 x$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Etapa 6.2

Subtraia $5$ de $9$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Etapa 7

Combine $\frac{9}{5}$ e ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Etapa 8

Multiplique $\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5}$ por $\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Etapa 9

Mova ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ por ${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Mova ${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{9}{5 ({(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Etapa 10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5} + \frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Etapa 10.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{- 4 + 9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Etapa 10.1.4

Some $- 4$ e $9$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Etapa 10.1.5

Divida $5$ por $5$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Etapa 10.2

Simplifique $5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{8} + 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 12

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{8}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 14

Multiplique $8$ por $5$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 15

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \cdot 1)$

Etapa 17

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7)$

Etapa 18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9}{5 (5 x^{8}) + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

Etapa 18.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{9}{25 x^{8} + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

Etapa 18.2.2

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$

Etapa 18.3

Reordene os fatores de $\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{25 x^{8} + 35 x}$

Etapa 18.4

Fatore $5 x$ de $25 x^{8} + 35 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Fatore $5 x$ de $25 x^{8}$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 35 x}$

Etapa 18.4.2

Fatore $5 x$ de $35 x$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)}$

Etapa 18.4.3

Fatore $5 x$ de $5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

Etapa 18.5

Multiplique $40 x^{7} + 7$ por $\frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$ .

$\frac{(40 x^{7} + 7) \cdot 9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

Etapa 18.6

Mova $9$ para a esquerda de $40 x^{7} + 7$ .

$\frac{9 (40 x^{7} + 7)}{5 x (5 x^{7} + 7)}$