Cálculo Exemplos

$y = \frac{\log (x)}{1 + \log (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = 1 + \log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 2

A derivada de $\log (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \log (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\log (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{x \ln (10)}$ e $\log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 6

Para escrever $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 7

Combine $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ e $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 9

Combine $x$ e $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 10

Combine $\ln (10)$ e $\frac{x}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $\ln (10)$ .

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Etapa 11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 11.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 12.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 13

Multiplique $1 + \log (x)$ por $1$ .

$\frac{\frac{1 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 14

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 15

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 16

Reescreva $\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ como um produto.

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 17

Multiplique $\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}$ por $\frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ .

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.1.1

A base do logaritmo $10$ de $1$ é $0$ .

$\frac{1 + 0}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 18.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Etapa 18.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

Etapa 18.3

Reordene os fatores em $\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$