Cálculo Exemplos

$y = \ln ({(x + 2)}^{5})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x + 2)}^{5}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $5$ e $\frac{1}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{5}{{(x + 2)}^{5}} ({(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine ${(x + 2)}^{4}$ e $\frac{5}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 3.2.2

Mova $5$ para a esquerda de ${(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{5 \cdot {(x + 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de ${(x + 2)}^{4}$ e ${(x + 2)}^{5}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Fatore ${(x + 2)}^{4}$ de $5 {(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.2.1

Fatore ${(x + 2)}^{4}$ de ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{5}{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + 0)$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{5}{x + 2} \cdot 1$

Etapa 3.6.2

Multiplique $\frac{5}{x + 2}$ por $1$ .

$\frac{5}{x + 2}$