Cálculo Exemplos

$y = e^{7 - (\frac{5}{x})}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 - \frac{5}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 - \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 - \frac{5}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Etapa 2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Etapa 2.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{x}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 (- x^{- 2}))$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 x^{- 2})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine $e^{7 - \frac{5}{x}}$ e $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{7 - \frac{5}{x}} \cdot 5}{x^{2}}$

Etapa 3.2.3

Mova $5$ para a esquerda de $e^{7 - \frac{5}{x}}$ .

$\frac{5 e^{7 - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 e^{\frac{7 x}{x} - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$