Cálculo Exemplos

$y = e^{6 x \sin (2 x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x \sin (2 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 x \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x \sin (2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x \sin (2 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x \sin (2 x)$ .

$e^{6 x \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [6 x \sin (2 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$e^{6 x \sin (2 x)} (6 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)])$

Etapa 2.2

Mova $6$ para a esquerda de $e^{6 x \sin (2 x)}$ .

$6 \cdot e^{6 x \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1)$

Etapa 5.5

Multiplique $\sin (2 x)$ por $1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cos (2 x))) + 6 e^{6 x \sin (2 x)} \sin (2 x)$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 e^{6 x \sin (2 x)} x \cos (2 x) + 6 e^{6 x \sin (2 x)} \sin (2 x)$