Cálculo Exemplos

$y = e^{k \tan (\sqrt{5 x})}$

Etapa 1

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}]$

Etapa 1.2

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan ({(5 (x))}^{\frac{1}{2}})}]$

Etapa 1.3

Aplique a regra do produto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 3

Como $k$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ em relação a $x$ é $k \frac{d}{d x} [\tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} (k \frac{d}{d x} [\tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $5^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 12

Combine $5^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 13

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Combine $e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$ e $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Combine $\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $k$ .

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 16

Combine $\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Reordene os fatores em $e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{k e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Reordene os termos.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3

Reordene os fatores em $\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{k \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$