Cálculo Exemplos

$y = e^{m x} \cos (n x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{m x}$ e $g (x) = \cos (n x)$ .

$e^{m x} \frac{d}{d x} [\cos (n x)] + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = n x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $n x$ .

$e^{m x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$e^{m x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $n x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $n$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $n x$ em relação a $x$ é $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) (n \cdot 1)) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Etapa 3.3

Multiplique $n$ por $1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = m x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $m x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [m x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [m x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $m x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} \frac{d}{d x} [m x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $m$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $m x$ em relação a $x$ é $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} (m \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} (m \cdot 1))$

Etapa 5.3

Multiplique $m$ por $1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} m)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os termos.

$- e^{m x} n \sin (n x) + e^{m x} m \cos (n x)$

Etapa 6.2

Reordene os fatores em $- e^{m x} n \sin (n x) + e^{m x} m \cos (n x)$ .

$- n e^{m x} \sin (n x) + m e^{m x} \cos (n x)$