Cálculo Exemplos

$y = e^{x \sqrt{5 x - 3}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x - 3}$ como ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 x - 3$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x - 3$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x - 3$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.3

Mova ${(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.4

Combine $\frac{1}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x - 3] + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Multiplique $5$ por $1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15

Combine frações.

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Etapa 15.1

Some $5$ e $0$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5 + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15.2

Combine $\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $5$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 5}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 \cdot x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 17

Multiplique ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 18

Para escrever ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 19

Combine ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Multiplique ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 21.1

Mova ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.4

Some $1$ e $1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.5

Divida $2$ por $2$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Simplifique a expressão.

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Etapa 22.1

Simplifique ${(5 x - 3)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + (5 x - 3) \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x - 3$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + 2 \cdot (5 x - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Combine $e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{5 x + 2 (5 x - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 2 (5 x - 3))}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 2 (5 x) + 2 \cdot - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.2.1.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 10 x + 2 \cdot - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 10 x - 6)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.2

Some $5 x$ e $10 x$ .

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (15 x - 6)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (15 x) + e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 6}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 6}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.5

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 \cdot e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.6

Reordene os fatores em $15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.3

Reordene os termos.

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4

Fatore $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 24.4.1

Mova $e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4.2

Fatore $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4.3

Fatore $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $- 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) + 3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (- 2)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4.4

Fatore $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) + 3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (- 2)$ .

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x - 2)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$