Cálculo Exemplos

$y = e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + \sin (x) e^{x} + \cos (x) e^{x}$

Etapa 6.3

Combine os termos.

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Etapa 6.3.1

Reordene $\sin (x)$ e $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Etapa 6.3.2

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Etapa 6.3.3

Some $- e^{x} \sin (x)$ e $e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + 0 + \cos (x) e^{x}$

Etapa 6.3.4

Some $e^{x} \cos (x)$ e $0$ .

$e^{x} \cos (x) + \cos (x) e^{x}$

Etapa 6.3.5

Some $e^{x} \cos (x)$ e $\cos (x) e^{x}$ .

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Etapa 6.3.5.1

Reordene $\cos (x)$ e $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Etapa 6.3.5.2

Some $e^{x} \cos (x)$ e $e^{x} \cos (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x)$