Cálculo Exemplos

$y = \log_{9} (e^{- x} \cos (π x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{9} (x)$ e $g (x) = e^{- x} \cos (π x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{9} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log_{9} (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (9)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (9)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 4.3

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Etapa 6.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Etapa 6.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- e^{- x}))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π)) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Etapa 7.2

Combine os termos.

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Etapa 7.2.1

Combine $e^{- x}$ e $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ .

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (- \sin (π x) π) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Etapa 7.2.2

Combine $\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ e $\sin (π x)$ .

$- \frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} π + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Etapa 7.2.3

Combine $π$ e $\frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ .

$- \frac{π (e^{- x} \sin (π x))}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Etapa 7.2.4

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 7.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{π e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Etapa 7.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Etapa 7.2.5

Combine $\cos (π x)$ e $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} + \frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (- e^{- x})$

Etapa 7.2.6

Combine $\frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ e $e^{- x}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$

Etapa 7.2.7

Cancele o fator comum de $\cos (π x)$ .

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Etapa 7.2.7.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$

Etapa 7.2.7.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (9)}$

Etapa 7.2.8

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 7.2.8.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (9)}$

Etapa 7.2.8.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{1}{\ln (9)}$

Etapa 7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1

Separe as frações.

$- (\frac{π}{\ln (9)} \cdot \frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}) - \frac{1}{\ln (9)}$

Etapa 7.3.2

Converta de $\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$ em $\tan (π x)$ .

$- (\frac{π}{\ln (9)} \tan (π x)) - \frac{1}{\ln (9)}$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{π}{\ln (9)}$ e $\tan (π x)$ .

$- \frac{π \tan (π x)}{\ln (9)} - \frac{1}{\ln (9)}$