Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

Etapa 1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

Etapa 3

Converta de $\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ em $\sin (3 x) \cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (3 x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Etapa 5

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 6.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Etapa 7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

Etapa 7.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\cot (x) \cos (3 x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reordene os termos.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Etapa 8.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Etapa 8.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Etapa 8.2.4

Combine $\sin (3 x)$ e $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Etapa 8.2.5

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.2.6

Multiplique $3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 8.2.6.1

Combine $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $3$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

Etapa 8.2.6.2

Combine $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ e $\cos (3 x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.2.7

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.2

Separe as frações.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.3

Reescreva $\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ como um produto.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.4

Escreva $\sin (3 x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.5

Simplifique.

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Etapa 8.3.5.1

Divida $\sin (3 x)$ por $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.5.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.6

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.7

Multiplique $\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ .

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Etapa 8.3.7.1

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.7.2

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.7.4

Some $1$ e $1$ .

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.8

Separe as frações.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.9

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

Etapa 8.3.10

Divida $3 \cos (3 x)$ por $1$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$