Cálculo Exemplos

$y = \frac{\tan (2 x) - e^{x}}{3 x - 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \tan (2 x) - e^{x}$ e $g (x) = 3 x - 4$ .

$\frac{(3 x - 4) \frac{d}{d x} [\tan (2 x) - e^{x}] - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (2 x) - e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \cdot \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 6.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 6.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 6.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + 0)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 6.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \cdot 3}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 6.6.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 (\tan (2 x) - e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Expanda $(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 \cdot 2 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 \cdot - 1 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) + 3 e^{x}}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Some $4 e^{x}$ e $3 e^{x}$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 7 e^{x} - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 e^{x} x + 7 e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$